第五章 整体微分几何学外文翻译资料

第五章 整体微分几何学

5.1 引言

本章的主旨在于介绍整体微分几何。我们曾经遇到过一些整体性的定理（2.7中紧致可定向曲面的特性和4.5中的高斯—波涅定理就是这样的例子）。但是，它们或多或少都是随便碰到的，因为我们当时的主要任务是建立R中正则曲面的局部理论。现在，做完了这件事，我们就能偶对整体性质开始作更系统的研究。

整体微分几何所处理的是曲线、曲面的局部性质与整体（一般是拓扑）性质之间的关系。为了把要用的拓扑学知识降到最低程度，这里，我们仅限于欧氏空间中的子集。用到的也只是欧氏空间中连通紧致集的一些最基本的性质。为了保证完整，这些材料及有关证明，放在了第5章的附录中。

在阅读本章时，读者会作出许多种选择，考虑到这一点，现在我们来对本章的各节逐个给出简短的介绍。在本引言的最后，会给出一张表格来说明各节间的依赖关系。

5.2中，我们将证明球面是刚性的；即如果连通、紧致的正则曲面S与球面等距，则S是球面。这一节在本书中的作用是导出5.3。

5.3中，作为整体性定理的自然背景，我们会引入一个叫做完备曲面的概念。我们要证明基本的Hopf-Rinow定理，它肯定了连接完备曲面上任意两点的极小测地线的存在性。

5.4中，我们将导出弧长的第一变分公式和第二变分公式。作为应用，我们要证明波涅定理；高斯曲率有正的非零下界的完备曲面是紧致的。

5.5中，我们要引入沿一条测地线的雅可比场这个重要的概念，它度量了附近的测地线离开的速度。我们将证明：如果完备曲面S的高斯曲率非正，exp：T(S)S是局部微分同胚。

这样，就提出了寻求使局部微分同胚成为整体微分同胚的条件的问题，因此，在5.6中引进了覆盖空间。5.6中的部分A与前面的各节是完全无关的。在部分B，我们要证明Hadamard的两条定理：（1）若S完备、单连通，并且S的高斯曲率非正，则S与平面微分同胚。（2）若S紧致，则高斯曲率为正，则高斯映照N：SS是微分同胚；特别地，S微分同胚于球面。

5.7中，我们将给出曲线的一些整体性定理。这一节只跟5.6的部分A有关。

5.8中，我们会去证明R中高斯曲率为零的完备曲面，或者是平面，或者是柱面。

5.9中，我们要证明所谓的雅可比定理：一段测地线弧关于具有相同端点的邻近曲线为极小的充要条件是这段弧不含共轭点。

5.10中，我们将引入抽象曲面的概念，并且，将第4章中的内蕴几何学推广到这种曲面上去，除了习题外，这一节与前面各节完全是独立的。在本节的末尾，我们要提及诸如微分流形和黎曼流形这种可能的、更进一步的推广。

5.11中，我们要证明希尔伯特定理，它说明在R中不存在负常数高斯曲率的完备正则曲面。

在所附的图表中，我们给出了本章各节的依赖关系。例如，读5.11需要5.3，5.4，5.5，5.6和5.10；读5.7部分需要5.6部分A；读5.8需要5.3，5.4，5.5以及5.6的部分A。

节

• 1. 球面的刚性

刚一开始，较合适的是举一个虽然有些简单，却是整体性定理的典型例子。我们就选取球面的刚性。

我们将证明球面在下列的意义下是刚性的。设是球面到正则曲面上的等距对应，则S是球面。直观上，这意味着要把由可弯曲但无弹性的物质做成的球面进行变形是不可能的。

实际上，我们要证明下面的定理。

定理1 设S是高斯曲率K为常数的紧致、连通、正则曲面，则S是球面。

球面的刚性可从定理1立即推出。实际上，设是球面到S上的等距对应。此时，就有常数曲率，因为曲率在等距对应下是不变的。并且，由于集合是紧致连通的，它的连续象亦是紧致连通的（第5章附录的命题6和命题12）。于是乎，由定理1可知S是球面。

定理1最开始的证明是属于H.Liebman（1899）的。我们这里要给的证明是经陈省身修改后的D.Hilbert的证明（S.S.Ohern，“Some New Characterizations of the Euclidean Sphere，”Duke Math.J.12（1945），270~290；以及D.Hilbert，Grundlagen der Geometrie，3rded.，Leipzig，1909，附录5）。

注1 需要注意的是，存在与球面同胚，却不是刚性的曲面。图5-1就给出了一个例子。用往里“撞击”的方法把图5-1中曲面S的平面区域P换掉，使得到的曲面仍旧是正则的。用“对称撞击”的方法形成的曲面和是等距的，但是不存在使变成的线性正交变换。因此，不具有刚性。

图 5-1

我们来回忆一下下面的约定。选取主曲率与，使得对每一点，有（q）（q）。这样，我们就得到S中的连续函数与，它们是可微的，但或许要除去S的脐点（=）。

定理1的证明基于下列的局部性引理，为此我们要利用Mainardi-Codazzi方程（见4.3）。

引理1 设S是正则曲面，p为S上满足下列条件的点：

1.gt;0；即p点的高斯曲率为正；

2.p是函数的局部极大值点，同时又为函数的局部极小值点（）。则p是S的脐点。

证明 假定p不是脐点，我们来引出矛盾。

若p不是S的脐点，就可以选到p的坐标领域，使得坐标曲线是曲率线（3.4）。此时，F=f=0，并且主曲率则由e/E，g/G给出。因为p点不是脐点，若有必要的话，交换，，从而我们可假定在p点的一领域内

（1）

在如此得到的坐标系内，Mainardi-Codazzi方程可写为（4.3的等式（7）与（7a））

（2）

（3）

先将（1）的第一个等式关于微分，并利用方程（2），我们得到

（4）

相似地，再将（1）的第二个等式关于微分，并利用方程（3），

（5）

另一方面，当F=0时，关于K的高斯方程化为（4.3，习题1）

因此， （6）

这里的的函数，它们的具体表达式在证明中起不到实质性作用。接下来，将引入的，，和也是这样的函数。

从等式（4）和（5），我们可以得到的表达式，将它们微分后代入方程（6），则

因此，

（7）

由于在p点，Kgt;0且gt;，（7）式左端在p点严格为负。因为在p 点达到局部极大值，在p点达到局部极小值，所以在p点就有

，，，

但是，这可推出（7）式的右端非负，这时矛盾的。引理1证毕。

应该看到：在证明中如果我们假定在p点有局部极小值而有局部极大值，就得不出矛盾。实际上，在正曲率曲面上当p不是脐点是，这种情形是有可能发生的，这可用下面的例子说明。

1. 设S是由下式给出的旋转面（参见3.3，例4）

，，，0lt;ult;2pi;

其中 ，Cgt;1

，

我们取lt;，使得有定义。

利用已知的表达式（3.3，例4），我们得到

，，，

，

因此有

，

所以，S有正的常数曲率K==1gt;0（参见3.3，习题7）。

由于Cgt;1，容易看出，在S上处处gt;。因此S没有脐点。而且，由于时，但时

因此，我们就有在平行环的点上达到极小值（由于，因而达到极大值）的结论。

这个例子附带也说了定理1中紧致性的假定是不可少的，因为曲面S（见图5-2）也具有正的常曲率，但不是球面。

图 5-2

在证明定理1时要用到下面的事实，在这里，我们把它写成一条引理。

引理2 紧致正则曲面至少有一个椭圆点。

证明 因为S是紧致的，所以S有界，因此，在中就存在一系列以固定点为中心的球面，使得S被包含在其中任何一个球面所围成的区域的内部。考察所有这种球面的集合。设是它们半径的下确界，并设是以为中心，为半径的球面。显而易见地，与至少会有一个公共点，比如点。在点的切平面，在点的一个领域内，与只有一个公共点。因此，与在点相切。考察点的法截线，容易推得在点的任何法曲率应大于或等于对应的在的曲率。因此，gt;0，而正如我们所希望的那样，是椭圆点。证毕。

定理1的证明 因为紧致，根据引理2，存在一个椭圆点。因为为常数，所以在整个上gt;0。

根据紧致性，上的连续函数在一点达到最大值（见第5章附录，命题13）。因为是正的常数，是的递减函数，所以在p达到最小值。从引理1可推出是脐点；也就是说。

也就是说，的所有点都是脐点，因而，根据3.2命题5，是球面或平面的一部分。由于gt;0，就落在球面中，根据紧致性，是中的闭集，又因为是正则曲面，便是中的开集。由于连通，又是中的既开又闭的子集，所以=（见第5章附录，命题5）。

因此，曲面是球面。证毕。

注意，在定理1的证明中，为常数的假定仅用来确保是的递减函数。如果我们假定平均曲率为常数，也能得到相同的结论。这样我们就有

定理1a 设是高斯曲率gt;0，平均曲率为常数的紧致、连通、正则曲面，则是球面。

证明的方法与定理1完全类似。事实上，只要是的递减函数，上面的论证方法还是适用的。说得更精确些，我们有

定理1b 设是高斯曲率为正的紧致、连通、正则曲面。如果在上存在着函数关系，其中，是的递减函数，且，则是球面。

注2 中高斯曲率gt;0的紧致连通曲面称为卵形面。因此，定理1a可说成是：常数平均曲率的卵形面必是球面。

另一方面，作为高斯—波涅定理的一个简单结论，卵形面与球面是同胚的（参见4.5，应用1）。H.Hopf证明了下列（更强）说法的定理1a仍旧成立：同胚于球面，且平均曲率为常数的正则曲面，必定是球面。A.Alexandroff的定理进一步推广了这个结果，他把与球面同胚的条件换成紧致性：常数平均曲率的紧致连通正则曲面，必定是球面。

以上一些结果的说明，可在Hopf中找到（参考文献列为在本书的最后）。

注3 球面的刚性，可以作为关于卵形面的一般刚性定理的结论而得到。Cohn-Vossen的这条定理说：等距的两个卵形面，只相差中的一个正交线性变换。这个结果的证明可在Chern中找到。

定理1是整体微分几何的一个典型结果，即一些局部量（这里是曲率）的信息加上一些较弱的整体性假设（这里是紧致性和连通性），可以推出关于整个曲面的很强的限制（这里是断言必为球面）。注意，连通性的唯一作用是防止在定理1的结论中出现两个或更多的球面。另一方面，紧致性的假设从许多方面来讲，是不可缺的，它的作用之一是保证我们得到整个球面，而不是含在球面中的曲面。

习题

1. 设是紧致正则曲面，并固定点，。设：是由，定义的可微函数。因为紧致，所以存在，使得对一切成立。证明：是的椭圆点（这就给出了引理2的另一种证明）。
2. 设是高斯曲率gt;0，且没有脐点的正则曲面。证明在S上不存在使为极大，同时使为极小的点。
3. （Kazdan-Warner的注）。设是广义的紧致旋转面（参见2.3，注4），它由把以弧长为参数的曲线

绕轴旋转而得到。这里，，且gt;0对于一切成立。由在极点的正则性，可进一步推得，（参见2.3，习题10）。我们还知道，的高斯曲率是（参见3.3例4）

1. 证明：

，

b．利用a推出中不存在曲率是单调增加的紧致（广义的）旋转面。

下面的习题是前述Hopf定理的证明概要，这条定理说的是：同胚于球面，且平均曲率为常数的正则曲面，必定是球面（参见注2）。 Hopf的主要思想在近代工作中已被反复应用。这道习

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

英语原文共 9 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[287146]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word