双重普遍泰勒级数外文翻译资料

双重普遍泰勒级数

G.Costakis*，N.Tsirivas

Department of Mathematics,University of Crete, GR-700 13 Heraklion,Crete,Greece

摘要：在单位圆上定义一个全纯函数f,Sn(f)表示为全纯函数其泰勒级数的第n和部分和。我们给出一个严格递增的正整数序列(lambda;n)，当且仅当lim sup n lambda;n/n= infin;时有，单位圆上的全纯函数f使得其部分和的数对{（( Sn(F），S_lambda;n（F））：N =1，2,.. }近似均匀的在复平面的紧子集K上分布，这给出泰勒级数的通用性的强概念。

关键词：泰勒级数；双重普遍性；Walsh–Bernstein理论；逼近度

1. 介绍

我们首先来给出一些标准记号和术语，定义D为复平面C上以0为中心的开区域单位圆。H（U）象征着在复平面C上的开集U上全纯函数的集合。H（U）成为在一致收敛的紧凑子集的诱导拓扑下的完整拓扑向量空间。设X是一个完整的度量空间。X的一个子集，如果能被记作开集X中一个可数交集，它是X的一个子集，包含一个Gdelta;在密集X上，这样的集合称为残留集。此外，定义K为复平面C上的紧集，A（K）是全纯函数在K内的所有连续点Ko的集合。对于给定的复数z和一个正数，符号，分别表示在以z为中心r为半径的开圆和闭圆。N，Q分别表示正整数，有理数集合。

泰勒级数的普遍性概念有着很长的历史，据我们所知第一个研究这个方面是由于Fekete,参见[25].在这项研究工作中，我们致力于通过Nestoridis[24]首次发现并研究了泰勒级数的通用性。类似的，但是条件较弱的泰勒级数普遍性研究见[8,17,18]。我们从[24]得出主要定义。函数被称为通用泰勒级数，如果其部分和序列，（）（以0为中心）具有以下性质：对于每一个紧凑的集合,连续并且empty;，并且每个函数存在正整数序列，使得，其中，对函数H来说：K趋于C且连续。这个普遍泰勒级数的集合用表示。一般来说，一个普遍泰勒级数的部分和有多种可能性。笔者是通过Baire范畴的矛盾方法得出普遍泰勒级数的存在性见[24]。通过对普遍泰勒级数可能性以及推广和定义的总结提升我们能发现，例如[3]和一些引用。接下来我们介绍一些新形式的普遍泰勒级数。

定义1.1.

设（）是严格递增的正整数序列。函数属于类，对于每一个紧凑的集合,连续并且empty;，有每一个函数对，则存在正整数的序列（mu;_n），使得

和

则函数称为关于序列的双重普遍泰勒级数。

术语“双重普遍函数”，或更准确的称为“多重普遍函数”，在[19]也有出现。但与我们所研究的实例相比，它们有不同的含义。我们想强调的是定义1.1是受到了动力系统和遍历理论这两个核心概念的启发：（i）多重拓扑循环，（ii）不相交性。第一个定理最简单的形式可以追溯到Poincareacute;，而第二个定理，这个是更近的，是由Furstenberg[9]研究得出的。简言之，考虑动力系统（X，T），其中X是紧致度量空间并且T：X→X是一个同胚映射。著名的 Poincareacute;定理断言的回归点T的存在性，存在使得对于严格递增的正整数序列(kn)有,其中，表示x在T之下的迭代序列。随后，Furstenberg和Weiss证明了这种现象，也就是现在被称为Furstenberg–Weiss多重循环定理[10]：如果X是一个紧度量空间，T1，T2,...,Tm是X的交换同胚映射，xisin;X，也就是说，存在的正整数（K_n）,当K_n→ infin;，使得T^kn_jx→x对于每一个j=1，.....m都成立。特别的，当m = 2，T ₁ = T ，T ₂ = T ²。存在xisin;X并且有正整数序列,当K_n→ infin;时，使得，。这意味着数对（x，x）是所述序列的极限点。不相交的概念则参见[10]的精确定义，具有更强的证明反应了它在某种程度上对角线轨道的密度。例如，在对动力系统，的一些假设下，不相交的概念意味着存在点xisin;X，使得所述集合是Xtimes;X上的密集，见[9]。这里提及的关于不相交理论与线性动力学相关参见[5,7,6]。参见[4,16]关于线性动力学的背景资料。现在话题转移至通用泰勒级数，很自然要问是否存在，使得对每一个紧凑集,连续并且empty;满足以下：

其中封闭区间是用来反应函数在拓扑条件下的上确界范数K。事实并非如此，见命题4.5.这使我们得出以下几点：

问题.如果对于序列，存在函数使得对每一个紧凑集,连续并且empty;有，

利用定义1.1,最后一个问题能够作如下修改？如果对于序列，是否有类U（D，（lambda;n），0）是非空集合?通过接下来的证明得到答案。

定理1.2.设（lambda;_n）是严格递增的正整数序列,当且仅当集合是非空的。此外，如果,集是并且在集中是稠密的。

位势论将会成为证明定理1.2的工具.位势理论为不少关于普遍性的主要问题的解决提供了强大的依据，见[11-14,20-22,28]。论文的结构如下安排。在第2节，我们建立了Bernstein–Walsh型定理。接下来的第3章节，介绍关于双普遍性的中心概念，我们最将在之后用到。在最后一节，第4节我们给出定理1.2的证明步骤。

1. Bernstein–Walsh型定理

主要定理1.2的证明，在很大程度上依靠于一个逼近定理，定理2.1的研究实际上是源于作者自己的兴趣。事实上，定理2.1是Bernstein–Walsh型定理对我们研究的情况的完善及其证明，在[26]给出。回想一下，给定为正实数序列,意味着序列有界。

定理2.1.定义是严格递增的正整数序列，将Ksub;Ccedil; D与它的补集紧凑联系起来，令risin;（0，1）。如果1le;tau;_n/sigma;_n→infin;且Ksub;U，U是在C上的开集，并且令theta;isin;（0,1），使得每个 hisin;H（U）存在的多项式（P_n）:

条件

以及

证明.对，，定义

，.

对任意的正整数m, qm是m收敛于K₀的Fekete多项式的程度，定义为集合U0 K0上的封闭轮廓.当时，ind，当时，ind. 以下定理6.3.1中证明[26]，存在，使得

对于正整数n,

在定理6.3.1[26]中关于的证明，有

m=1,2,.....h_0，h 在U上的任意一点,0在区域D上。

对于不依赖于n的正整数C，如果，并且sigma;n/tau;n → 0，则有

如果n足够大时有，

，

. 口

3. 双重普遍泰勒级数的中级概念.

为了证明定理1.2，这个较弱的双重普遍性概念将会被用到，接下来我们将会介绍。

定义3.1.设是严格递增正整数序列。函数属于类，如果对每一个紧凑集,连续并且empty;，对函数而言，则存在的正整数（mu;_n），使得

另一结果，这表明在上述类是H（D）的残留集，将被用在定理1.2的证明中，没有证据但是在结果的证明中有轻微的变化[24]。

命题3.2.设是严格递增正整数序列。则集合是且密集在中。

证明.令是将所有的多项式Q iQ的系数的枚举函数.设（K_M）是紧集与其所连续的补集，对任意的misin;N,Kmcap;D=empty;,使得对任意的K^c,Ksub;D^c存在的nisin;N使得Ksub;Kn。

对于这样的结构，我们参考[24].让我们定义一组

对任意的吗m,j,s,n isin; N.用集合定理易知

观察在V (m, j, s, n) 中对于属于N的任意 m, j, s, n . 因为Baire的分类定理, 则即将被证明的命题将会得出属于N的任意m, j, s以及在密集上的集合U都符合。选择合适的m,j,s并且在的条件下，我们需要设一个使得

,

通过Mergelyan定理知存在一个多项式f使得，

,

由于序列是严格递增的，我们可以找一个足够大的正整数n使得，.对于n的可能性我们有 .通过观察f，以及对其应用夹逼定理则可以完成命题的证明。

4.定理1.2的证明

4.1积极结果

命题4.1.设是严格递增的正整数序列，有。集合是且在中是稠密的。特别的，非空。是所有的多项式Q iQ系数的列举.设（Km）与它的补集是紧集,对任意的misin;N,K_mcap;D=empty;,使得对每一个连续的K^c,Ksub;Dc,存在nisin;N使得Ksub;Kn,定义集合，

m, j1, j2, s, n isin; N.参见Mergelyanrsquo;s 定理可以容易的得到

.

集合对任意的都是开集，因此要求Baire的分类定理减弱成为证明命题4.1的证据。

引理4.2.对任意的，集合 在 H(D)上是稠密的。

证明.构造，,且。有fisin;H(D)，使得

(4.1)

(4.2)

(4.3)

,存在正整数的序列M := (micro;nu;) 使得.应用于定

理2.1,对于上述，,存在一个正整数n_o,正数以及正常数C还有多项式形式的序列Pv。

Pv(z）：=^k

使得，

V ge; n₀ （4.4）

（4.5）

确定正整数 l ge; n0 使得

vge; l. （4.6）

构建,对于每一个满足的多项式Qv满足 degQiacute;vle; lambda;micro;v并且通过 (4.6)有

, 对于每个vge;l

因此，上述和(4.4)-（4.6）意味着，对于每个vge;l

（4.7）

（4.8）

（4.9）

应用于命题3.2，av:=micro;_v,bv:=lambda;_micro;nu;,vge;l,我们得出结论，集合是且在H（D）上是稠密的。所以，存在函数使得，

( 4.10)

又因为, 存在的正整数子序列Kv，使得

(4.11)

(4.12)

由(4.7)-(4.12)，我们可以找到一个足够大的正整数，使得

(4.13)

(4.14)

(4.15)

4.2消极结果

显然，定义1.1在lambda;n=n时是没有意义的，即。由此推及，我们可以由非常基本的论据手段得到如下命题。

命题4.

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