关于K变化的研究外文翻译资料

关于K变化的研究

原文作者 Robert W.Ellis Jason R.Lewis

单位 Department of Mathematics East Tennessee State University

摘要：1946年卡普雷卡尔提出了一个有趣的数学问题。他的这个问题，被后人称为。这个数学问题的具体描述如下：

给出一个任意的四位自然数，记为abcd，对它进行K变换，至多只需进行七次K变换，这个自然数总是会达到6174。其中K变换的定义如下：

1. 取一个任意四位自然数，记为abcd。
2. 将组成这个数字的四个数字分别按从大到小和从小到大的规律进行排序，形成两个新的数字
3. 将新得到的两个数字作差
4. 重复步骤2、3，直到得到6174

一旦6174出现了，接下去所作变换的结果总是6174。以5643为例。

1	6543	-3456	=3087
2	8730	-0378	=8352
3	8532	-2358	=6174
	7641	-1467	=6174

5643用三步就落入了6174的循环。

卡尔普雷卡花了近三年给出了K变换适用于所有四位自然数的定理证明，注意，其中不包括1111的倍数。

一旦我们完成了在四位自然数内，对K变换步骤的研究，我们便可探究，如果将K变换应用于任意位数的自然数会发生什么。在本文中，我们会回答这个问题，并且还会给出关于我们这项研究工作所产生一些结论。

我们的主要结论包括：（1）用统计分析的方法研究五位自然数的K变换，（2）进一步的调查和研究四位自然数应用K变换的步骤，（3）K变换对所有自然数的应用的总结。最后，（4）对回文序列的研究将成为本文有趣的主题之一。

关键词：自然数； K变换； 回文序列

1. 四位自然数的K变换

在本节中,我们讨论了的是四位自然数的K变换过程。我们发现进行一次K变换后，所生成的数字将被九整除。这使我们获得了以下定理，

定理2.1 考虑任意四位自然数，组成该数四个数字a,b,c和d两两不相等。将位数按降序排列，不失一般性，不妨假定age;b=cge;d，,那么在一次K变换以后，数值为27可被九整除。不是一般性，不妨假定age;bgt;cge;d，那么在一次K变换以后，数值为18也被九整除。

证明如下：

在分析了所有四位自然数后，并且确定了每一个四位自然数到达6174 的K变换过程，我们生成了统计分析结果。以下是统计分析的总结：任意的四位自然数最多只需7步便可达到6174，K变换模式的数量是3，K变换的平均次数为4.6，标准偏差为1.8。表1是一个展示四位自然数K变换的柱状图。在这里我们约定0000,1111hellip;hellip;9999的K变换次数为0，6174的K变换次数为1。

考虑每一位数都两两不相等的四位自然数abcd，可得图表2，为了确定所给数字的K变换，首先用a减去d，然后b减去c，然后找到这两个数字何时相等，如图2所示。在我们的研究基础上，这是一个非常近似准确的结果了。

有一个有趣的事实是，我们发现图2包含了许多回文。所有的对角线是回文(排除零列和零行)，除了第五对角线(7-1-6-2-7)。此外，列和行都产生了本身的回文。对于列，回文开始于值为10-b-c(不包括以0为首的第九行)的行，一直到最后一个数字列。例如,在第四列(c = 3)，回文行值始于七，因而回文是63536。唯一的例外是第三列。你可以使用类似的技术来发现回文行。我们还没有发现这种回文的意义，但相信这不仅仅是巧合。

当我们确定了所有四位自然数到达6174所需的K变换的次数后，我们就可以建构一个明确的家谱。在解释什么是家谱之前，现在定义几个量：

种类：任意的四位自然数（比如5643）

基础数：一个每一位的数字已按照降序排列的数字（比如6543）

秩序：所有基础数共享相同的变换过程直至到达6174.

王国：所有四位自然数

家谱：任一四位自然数到达6174的K变换过程。

秩序的成分：（1）a-d的值；（2）b-c的值；（3）给定的数到达6174放入过程中所出现的所有数。

图3给出了这些定义的图形表示。

现在来考虑卡普雷卡尔常数6174（参见附件A--四位自然数的家谱）。就像一个家族的族谱肯定能追溯到某个特定的祖先身上一样，对于四位自然数而言，它们的K变换产生的数列也能追溯到共同的“祖先”6174上。我们也定义了除了“祖先”6174以外的这一类的数。

为了把K变换的家谱整理好，我们按照种类对变换时出现的数字进行排列，然后根据a-d的区别，最后按照b-c的区别进行排列。为了让这个表格更容易被理解，我们去掉了所有种类的名字和第0次变换，只留下不同的54条路径（包括1111及其倍数的情况下是55条）。最后为了让图表更容易被理解，我们根据类别对它进行了上色。

1. 五位自然数的K变换

我们来观察5位自然数的K变换。在对所有五位自然数进行K变换测试以后，发现所有五位自然数都会落入以下三个循环之一中。分别是是{53955,59994}，{71973,83952,74943,62964}，{75933,63954,61974,82962}，所有五位自然数都会在6步以内进入上述的循环之一。任意的五位自然数会从上述任一循环中的任一一个数中进入循环。我们还没有发现预测一个数字是从哪里开始进入的，也不知道一个数字要经过多少次变换才能进入循环中，我们发现3%的五位自然数会进入第一个循环，48%的会进入第二个循环了，49%的会进入第三个循环。我们发现预测它们的最终状态比预测它们进入前的变换情况容易多了。

1. 六位自然数的K变换

对于六位自然数的K变换，有以下三个事实，第一个变换不会以549945告终，也不会以631764结束，也不会进入一个有七个数字组成的循环中去。只有17类的六位自然数才会进入上述循环之一。在这17例中，只有一例最后以631764结束。其余所有数字都进入了{642654,420876,851742,750843,860832,862632}。

下面这张表格（按照a-f的值来安排，其中六位自然数按照它每一位上的数的降序排列）显示了这些不同类别的六位数字在进入循环之前的表现。它们的“入口”数字代表了进入这个循环所需要到达的数值。用星号标出了以631764结束的数和以549945结束的数。

注意，这张表格中存在着大量的对称部分，可以找到许多回文和镜像效果。看上去在数值a-f上回文和镜像效应达到了最大化。

1. 其他位数自然数的K变换

有趣的是三位自然数的K变换过程在六步以内终止于495。所需的变换次数决定了a-c的类别，如下图所示。

我们研究了其他位数的自然数后发现，一些数字将终止变换而其他的将进入循环。对于某些位数的数字（如三位数和四位数），这些数字将会收敛到一个终止数。但对于其他位数的自然数（如五位数和七位数），这些数字永远不会终止，也就是说它们会进入一个循环中。为了确定某一长度的自然数在K变换时的表现，参见附件B。

可以想象，手工查找哪些位数的自然数不会进入循环的计算量是非常大的。另一方面，由于已经知道那些终止数的长度，所以很容易找出哪些数字是不会进入循环的。举例说明，我们来考虑6174，它是四位数的K变换中的唯一的终止数。如果我们在6和1之间放上3，在7和4之间放上6，也就是得到新数字631764.这个数字可能是六位自然数的终止数。如果我们重复类似刚才的行为，我们可以得到一个把位自然数63317664，它也有可能是一个终止数。除了两位数其余所有数字都有这种情况，下面进行解释。

把633...331766...664按照升序和降序的规则重新排列，并用前面的数减去后面的数。

因此我们发现除了两位的自然数，至少有一个终止数可以通过这样在“种子数”6174中插入数字和的方法被发现。通过类似的方法我们发现，终止数字的位数是3的倍数。对于六位数字，比如，当a-f=b-e=5，c-d=0时，K变换的终止数是549945.观察这个常数包含两个4，两个9。此外，九位自然数554999445也是终止数，包含三个4，三个5和三个9.照例我们用下图进行结论的展示。

因此，所有终结数都可以通过是否含有3k位自然数来寻找，其中。

类似的方法可用于证明八位自然数和十位自然数。所以这些结果参见附件B。

1. 结论

我们已经探索了三位、四位、五位、六位自然数的K变换，并将结论推广到其他位的自然数。我们的研究已经证明四位自然的K变换会在7步以内进入6174。五位自然数会在6步以内进入上文中所提到的三个循环中的其中一个。六位自然数会在13步以内进入终结数或进入一个循环，三位自然数会进入终结数495。我们可以预测四位自然数会在几次变化以后进入6174，和六位自然数在几次变换以后会进入终结数。我们解决了很多问题，但是我们也通过研究K变换的步骤发现了一些问题。举例说明，为什么在四位数的表格中7-1-6-2-7不是回文？对于六位自然数，为什么只有一个数字终结于549945？这些问题的解决需要更深入的研究。我们的结论先前已经在MathSciNet刊登过。但是我们的工作大部分都是新的。之前有一些结论发现的是四位自然数会在7步内终结于6174，三位自然数会终结于495.

我们衷心感谢Anant Godbole博士，是他向我们介绍了这个问题，并且花了大量时间来帮助我们的研究。此外，我们也要感谢所有参考文献的作者给我们提供了大量的帮助。

附件A

参考文献出处：

www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2002/vol3-n2/paper4/v3n2-4pd.pdf

附外文文献原文：

Investigations into the Kaprekar Process

Robert W. Ellis

Department of Mathematics

East Tennessee State University

Johnson City, TN, USA

rellis01@utk.edu

Jason R. Lewis

Department of Mathematics

East Tennessee State University

Johnson City, TN, USA

jasonlewis_tn@yahoo.com

January 9, 20231. Introduction

In 1946 Kaprekar proposed an interesting mathematical problem. His problem, through which emerges what later became known as the Kaprekar Constant, is as follows:

Given any four digit number, abcd, within seven iterations of the Kaprekar Process, you will reach the number 6174. The Kaprekar Process is as follows:

(1) Take any four-digit number, abcd, consisting of four distinct digits.

(2) Rearrange the digits into descending order and then into ascending order, including the leading zeros.

(3) Subtract the latter from the former.

(4) Repeat this procedure using the result from step 3, using the leading zeros, until the number 6174 is reached [1].

Once the number 6174 is reached, it will regenerate itself. For example, take the number 5643.

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Investigations into the Kaprekar Process

Robert W. Ellis

Department of Mathematics

East Tennessee State University

Johnson City, TN, USA

rellis01@utk.edu

Jason R. Lewis

Department of Mathematics

East Tennessee State University

Johnson City, TN, USA

jasonlewis_tn@yahoo.com

January 9, 20231. Introduction

In 1946 Kaprekar proposed an interesting mathematical problem. His problem, through which emerges what later became known as the Kaprekar Constant, is as follows:

Given any four digit number, abcd, within seven iterations of the Kaprekar Process, you will reach the number 6174. The Kaprekar Process is as follows:

(1) Take any four-digit number, abcd, consisting of four distinct digits.

(2) Rearrange the digits into descending order and then into ascending order, including the leading zeros.

(3) Subtract the latter from the former.

(4) Repeat this procedure using the result from step 3, using the leading zeros, until the number 6174 is reached [1].

Once the number 6174 is reached, it will regenerate itself. For example, take the number 5643.

1

6543

-

3456

1	6543	-	3456	=	3087
2	8730	-	0378	=	8352
3	8532	-	2358	=	6174
	7641	-	1467	=	6174

The number 5643 reached 6174 in three iterations.

It took Kaprekar nearly three years to arrive at the proof that this procedure works for all four-digit numbers, that are not for multiples of 1111 [2].

Once we finished our study of the Kaprekar Process with four-digit numbers, we decided to explore what would happen if one applied the Kaprekar Process to numbers with different digit lengths (number of digits). In this paper, we will answer this question and a few others that came up in the course of our research.

Our major contributions to this problem include (1) a statistical analysis of this process on five-digit numbers, (2) further investigation and the discovery of relationships between four-digit numbers after application of the Kaprekar Process, (3) a summary of results of the Kaprekar Process arranged by digit length, and, last but not least, (4) the interesting palindromic sequences which have become the leitmotif of this research.

2. Kaprekar Procedure with Four-Digit Numbers

In this section, we discuss the Kaprekar Process when it is applied to four-digit numbers. One of the remarkable things that we discovered is that after one iteration of the Kaprekar Process, all the numbers generated will be divisible by nine. This led us to the following theorem.

Theorem 2.1. Consider any four-digit number, consisting of the digits a, b, c, and d, where all four digits are not equal. Once the digits are arranged in descending order, if, without loss of generality, a  b = c  d, then the sum of the digits after one iteration of the Kaprekar Process will be 27, which is divisible by nine. If, without loss of generality, a  b gt; c  d, then the sum of the digits after one iteration of the Kaprekar Process will be 18, which is also divisible by nine.

PROOF:

After analyzing all 10,000 four-digit numbers, and determining the path that each one of them takes to reach the number 6174 in the Kaprekar Process, we were able to perform a statistical analysis on the results generated. The following is a summary of the statistical analysis; the maximum number of iterations required to reach 6174 is seven, the mode of the number of iterations is three, the average number of iterations is 4.6, and the standard deviation is 1.8. Figure 1 is a histogram of the frequencies of the number of iterations for four-digit numbers. Here we use the convention that the numbers 0000, 1111, hellip;, 9999 take zero iterations, but the number 6174 takes one iteration for the process to terminate

Figure 1

Consider any four-digit number, abcd, consisting of four distinct digits arranged in descending order. The table in Figure 2 can be used to determine the number of iterations required to reach 6174 using the Kaprekar Process. To determine the required number of iterations to reach 6174, you first subtract d from a and then c from b. Then find where these two numbers intersect on the table in Figure 2. That number will be the required number of iterations to reach 6174. Throughout our research we have been unable to find a similar result.

Figure 2
The Required Number of Iterations to Reach 6174
a – d	9	4	4	3	3	7	7	7	3	3	4
	8	6	3	6	5	2	7	2	5	6
	7	4	3	5	6	3	5	3	6
	6	6	7	1	3	4	5	4			剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 资料编号：[286853]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word