理解和促进学生的数学思想：ESM研究综述

Merrilyn Goos amp; Sila Kaya

摘要：本文对理解和促进学生数学思想的研究进行了比较回顾。审查的来源是在1994-1998年两个时期发表在《数学教育研究》上的论文，以及2014-2018 年。选择这两个时间段，使我们能够评论艺术在研究中的Bstate，并确定过去25年的变化。本综述以分析研究文献、选定的课程文件和国际评估计划(如经合组织的国际学生评估计划(PISA))中提出的数学思想的概念化为指导。审查不仅记录了研究报告的显著特点，如作者、参与者的教育水平、研究目的、理论观点和方法，还确定了这一工作机构对知识的贡献以及未来的研究方向和机会。

关键词：数学思想； 解决问题； 比较审查；

1导言

本文报道了1994年至1998年和2014年至2018年两个时期发表在《数学教育研究》上的关于理解和促进数学思想的研究综述。对数学思想的关注来自于当代关于数学对批判性公民的重要性的观点，对于成功学习数学意味着什么。例如，在许多国家，课程改革已经开始重新考虑学校数学的性质，导致数学内容的选择和组织的变化，并越来越强调数学思想过程、实践和工作方式（国际数学教学委员会）。

对数学思想领域的文献进行全面审查将借鉴广泛的来源，如研究期刊、书籍和会议记录。 然而，这一审查仅限于在无害环境管理中发表的论文。 虽然这种方法可以被批评为限制了审查的范围，降低了可以从中得出的任何结论的价值，但它确实允许分析一个特定的研究领域是如何在我们领域最受引用和最受尊敬的期刊之一(Williamsamp;Leatham，)中得到代表的。2017 这篇论文也是为了在2018年纪念该杂志的第五十年，并在2019年1月出版其第100卷。 这些活动共同为反思该杂志的过去和未来提供了一个机会，加入了已经发表的几篇此类纪念文章(Bakker；Beckers； Mesaamp;Wagner，)。

这次审查选择了两个单独的5年时间窗口。 在最近的一段时间，2014-2018年期间发表的论文，使我们能够评论当前的艺术在数学思想研究中的现状。 我们想选择更早的时间框架，为了比较的目的，并确定了最终决定1994-1998年的两个原因。

首先，我们预计1994-1998年的窗口将捕捉到数学问题解决研究作为数学思想的一种关键形式的成熟。 第二，从1994年到2018年的全面审查期相当于ESM50年寿命的后半期。 比较这两个B片^发表的研究跨越25年，使我们能够确定变化，强调随着时间的推移，并以所讨论的趋势和研究主题来解释研究结果数学教育研究手册和数学思想领域的开创性著作。 我们的目的是产生一个简明的比较分析和这一领域的最新快照，并提出如何发展数学思想的研究。

这次审查是围绕以下几节组织的。 首先，我们考虑了数学思想的意义^并描述了指导文献搜索的参数和特定方面。 接下来，我们概述了用于审查的方法-来源如何被选择、组织和分析。 然后，针对构成分析结构的广泛研究问题提出研究结果：

1.在ESM发表的研究的背景和特征中，可以观察到哪些异同，这些研究调查了

1994-1998年和2014-2018年期间如何理解和促进学生的数学思想？

2.在这段时间里，指导研究的理论和方法有什么变化？

3.这一工作机构对知识的贡献是什么，并指出了未来的研究方向？

2 数学思想的意义

数学思想被认为是世界各地学校教育的一个重要目标，但很难用几句话来定义。数学思想注重过程而不是内容，尽管这两者对学习数学显然都很重要，而且两者都典型地体现在学校数学课程中。 对数学本质的洞察可以从研究框架和课程框架中获得思考，这些框架试图描述其显著特征。

在20世纪80年代，研究集中于数学思想所涉及的过程，特别是与数学问题解决有关的过程。 例如，Schoenfeld()开发了一个数学思想框架，其中包括数学知识和启发式、元认知知识和控制，以指导解决问题的活动、信念和影响，以及这些因素如何受到教学环境的影响。19921985 梅森、伯顿和斯泰西以实际的方式讨论了参与和促进数学思想同时解决问题的方法，他们的书题为“思想数学”，确定了两对基本过程：(1)专业化和泛化，(2）猜测和令人信服。

2007 虽然数学问题解决的研究在20世纪80年代和90年代蓬勃发展，但最近的评论令人遗憾的是，这一领域的研究缺乏影响力和累积性(Leshamp;Zawojewski，第763 页)，特别是注意到数学文献。

20042016 解决问题没有为学校实践制定明确的指导方针(Andersonamp;White ；Englishamp;Gainsburg，)。 有人提出了许多可能的原因，例如：

amp;对理解和促进解决问题最有成效的理论观点的不确定性

amp;领域的广度和由此造成的界定所指内容的困难解决^问题

amp;教育政策的循环趋势导致问题解决之间的重点转移

和基本技能，导致研究重点的相应转变

amp;对将问题解决纳入数学课程的总体目标缺乏共识

然而，自1980年代以来的几十年里，人们一直对数学问题解决保持着研究兴趣。 例如，2007年出版了一本以世界各地解决BP问题为主题的ZDM数学教育双发行：总结艺术^，来自15个不同国家的论文(Torner，Schoenfeld，amp;Reiss，)。2007 研究手册还经常包括关于解决问题研究的章节(例如，英语和Gainsburg，)，有时扩大这一领域，以包括关于数学建模的观点(例如，Lesh和Zawojewski，)或提出问题(例如，Weber和Leikin，)。201620072016

在国际评估计划和课程框架中也可以看到与数学思想有关的特别重点。 例如，

国际学生评估方案在其评估中使用了数学扫盲^一词十五岁学生在现实世界中应用数学的能力。 为了

PISA2021评估框架，数学素养领域围绕三个相互关联的方面组织：（1)数学推理和

问题解决过程；(2)数学内容；(3）评估项目的上下文，并选定了21个圣斯特2017 关于21世纪概念的主要出版物和报告摘要圣斯特 世纪技能)。 在这个框架中，数学素养被定义为潘基文个人的能力。

数学推理和制定、运用和解释数学来解决问题在各种现实世界的情况下，解决问题和推理过程也在课程框架中得到了突出的体现，如美国制定的《学校数学原理和标准》

2000 国家数学教师委员会。 在这份文件中，猜想、论证和论证被确定为所有学生都可以学习的基本推理过程，最终可以正式地表示为数学证明。 新加坡数学框架说明了促进数学思想的课程设计的对比方法，该框架自1990年以来一直集中关注解决问题。 在目前的版本中，新加坡框架还将推理、沟通和联系以及应用程序和建模确定为重要的学习过程（教育部）。2012

2001 由美国国家研究委员会编写的“加起来”报告()介绍了数学熟练^的概念，以提出一个全面的观点，什么是所有学生成功学习数学所必需的。 数学熟练程度

被认为有五条相互交织和相互依存的链：

amp;概念理解-数学概念、运算和关系的理解

amp;程序流利-灵活、准确、有效和适当地执行程序的技能

amp;战略能力-制定、代表和解决数学问题的能力

amp; 适应性推理-逻辑思想、反思、解释和理由的能力

amp;富有成效的性格习惯倾向认为数学是明智的、有用的

数学能力的概念已在各国的数学课程框架中被采纳，作为具体规定数学学习过程领域的一种方式(例如，在澳大利亚，见ACARA；在爱尔兰，见NCCA)。 n.d.2015 虽然所有五条线都可以说对数学思想有影响，但在我们看来，战略能力和适应性推理的各条线似乎与以前的研究概念化的数学思想最密切相关。 值得注意的是，战略能力包括提出和提出问题以及解决问题的能力，适应性推理指的是直观和归纳推理以及非正式解释和理由、形式证明和其他形式的演绎推理。 对数学推理的研究兴趣反映了这种强调的广度，从制定理解学生证据概念的框架(例如，Harelamp;Sowder，)到通过解释和理由支持学生非正式推理的教学调查( 例如， Yackelamp;Hanna ， ) 。

这一研究概述指出了数学思想的两个广泛方面，成为我们对ESM论文的比较审查的重点：数学问题解决和（2）数学推理。 这些维度指导了文献搜索，其进一步细节将在下一节中介绍。

3审查方法

这一比较审查借鉴了为ICME13调查小组关于BTeachers通过合作工作和学习的文献调查而制定的研究问题、方法和报告调查结果的方法(Jaworski 等人， Robutti等人，)。 为了我们自己对数学思想研究的回顾，我们从(a)1994年至1998年出版的ESM问题，包括特别问题的手册在线搜索中确定的来源，即第26（1)至37(3）卷和(b)2014年至2018年，即第85（1)至99(3）卷。 不包括在搜索和随后的分析中的是社论、书评、致编辑的信件，以及简短的通信，包括公告、勘误表、讣告和要求论文。 以法语发表的研究论文也被从分析中删除（1994- 1998年发表了十篇论文，2014-2018年发表了一篇）。 这一进程使我们在1994-1998 年期间共发表了164篇英语研究论文，在2014-2018年期间发表了284篇英语研究论文。 为了识别数学思想领域的一组初始论文，第二作者搜索了这些论文的标题、关键词和摘要，以获得与解决问题和推理有关的下列广泛术语：解决问题、提出问题、推理、证明、论证、解释、理由、概括和抽象。 遵循Robutti等人描述的过程。然后在一组列标题下(例如，国家、研究目标、理论视角、参与者的数量和类型、方法方法、持续时间）的电子表格中阅读论文并记录每一篇论文的信息，使我们能够解决第一和第二个研究问题，如下所述。 电子表格中还记录了引文细节，包括与论文在线版本的超链接。

在分析研究的背景和特征时，我们记录了研究的地理区域，并记录了目标教育水平（小学、中学、职业教育、数学高等教育、教师教育)和规模(持续时间和参与者人数）的实证研究。 我们还想记录这些研究的实质性研究特点。 为此，我们开发了三个类别，我们标记了研究目的、研究重点和研究方向，并在电子表格中添加了这些列。

为了对论文的研究目的进行分类， 我们借鉴了Adler 、Ball 、Krainer 、Lin 和Novotna()在数学教师教育中发表的研究成果。 这项调查区分了两种类型的研究：那些旨在了解教师如何学习的研究和那些寻求改善教师学习机会的研究。2005 我们将这一想法用于我们的评论，以记录我们所确定的论文中的两种研究目的：理解或促进数学思想。 如果论文的目的只是描述和分析学生的推理或解决问题的策略，我们将论文分配给前者，而我们将后者用于研究某种教学干预对学生思想的影响的论文。

为了对论文的研究重点进行分类，我们记录了作为调查对象的广义数学思想类型：问题解决或推理。 我们还发现，有必要确定将问题解决研究扩展到提出问题的相关领域的论文(参见Weberamp;Leikin，)。此外，我们还确定了以证明为研究重点的论文，作为一种形式化的数学推理。

我们所标记的研究方向类别从韦伯和莱金对问题解决和问题提出的研究的()评论中找到了一个主题。 它们区分了以解决问题为研究对象的研究和以解决问题为研究工具来研究数学学习的其他方面的研究。2016 他们解释说，前者的研究报告了学生如何解决问题以及如何教授这些技能，而后者的研究则使用解决问题的任务来调查其他事情，例如学生对数学概念的理解或他们对数学的信念。 虽然韦伯和莱金的分类只涉及问题解决的研究，但我们发现它也有助于记录ESM关于数学推理的论文的研究方向。

随着搜索的进展，我们经常开会筛选已输入电子表格的文件，删除任何似乎不符合搜索标准的文件，并标记那些我们不确定的文件，以便我们以后可以重新考虑它们。 这是一个持续数周的迭代过程，在此期间，我们提出并修改了论文之间的相似性和差异的新模式的见解。 筛选和讨论的过程也使我们能够澄清审查的维度，并阐明似乎是重要的区别，例如作为研究对象调查数学思想过程和使用问题解决或推理作为教学数学内容的工具之间的重点差异.. 当初步搜索完成后，第一作者浏览了电子表格中记录的每一篇论文的完整版本，并删除了任何不属于审查范围的论文。 作为最后一项检查，她还检查了在两个感兴趣的时期内在无害环境管理中发表的所有研究论文的标题，并浏览了尚未选定但似乎与搜索标准有关的任何论文的完整版本。然后，她在电子表格中添加了少数被认为符合纳入标准的额外论文，即涉及理解或促进学生数学问题解决和数学推理的论文。 这一进程进一步澄清了审查的各个方面。 例如，它导致更多地关注学生的数学思想，而不是教师的教学推理，并通过反思性抽象删除关于概念形成的论文，因为这些论文被认为与问题解决和推理不太相关。 搜索和筛选过程产生了两套论文。 在1994年至1998年期间，共有24篇论文

（21篇经验论文和3篇理论论文），占当时发表的164篇英语研究论文的15%。 在 2014年至2018年期间，我们确定了57篇论文（51篇实证研究和6篇理论研究），占当时ESM发表的284篇英语研究论文的20%。这一初步比较表明，过去25年来，通过无害环境管理传播的数学思想研究继续蓬勃发展。 对这两组论文的进一步分析揭示了本研究的有趣特征和随着时间的推移而发生的一些变化。 我们使用描述性统计来总结与我们的前两个研究问题有关的结果，涉及研究的背景和特征以及构成它们的理论和方法。 对于第三个研究问题，询问对知识的贡献和未来的研究方向，我们确定了一组论文的定性特征，并选择了说明性的例子，以供参考

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Educational Studies in Mathematics https://doi.org/10.1007/s10649-019-09921-7

Understanding and promoting studentsrsquo; mathematical thinking: a review of research published in ESM

Merrilyn Goos¹ amp; Sila Kaya¹

# Springer Nature B.V. 2019

Abstract

In this paper, we offer a comparative review of research on understanding and promoting studentsrsquo; mathematical thinking. The sources for the review are papers that were published in Educational Studies in Mathematics (ESM) during two windows of time: 1994–1998

and 2014–2018. Selection of these two time periods enables us to comment on the Bstate of the art^ in research as well as identify changes over the past 25 years. The review is guided by an analysis of conceptualizations of Bmathematical thinking^ proposed in the research literature, selected curriculum documents, and international assessment programs such as the OECDrsquo;s Programme for International Student Assessment (PISA). The review not only documents salient features of research studies, such as the country of origin of the

authors, educational level of the participants, research aims, theoretical perspectives, and methodological approaches, but also identifies the contribution to knowledge made by this body of work as well as future research directions and opportunities.

Keywords Mathematical thinking . Problem solving . Reasoning . Proof . Problem posing . Comparative review

Introduction

This paper reports on a review of research on understanding and promoting mathematical thinking published in Educational Studies in Mathematics (ESM) during two windows of time: from 1994 to 1998 and 2014 to 2018¹. The focus on mathematical thinking arises from contemporary views about the importance of mathematics for critical citizenship, with impli- cations for what it means to learn mathematics successfully. In many countries, for example,

1This paper extends the review of research on mathematical thinking presented by the first author at the 2018 Regional Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME). The

conference theme was Understanding and promoting mathematical thinking.

* Merrilyn Goos merrilyn.goos@ul.ie

1 University of Limerick, Limerick, Ireland

curriculum reforms have initiated reconsideration of the nature of school mathematics, leading to changes in the selection and organization of mathematical content and increasing emphasis on mathematical thinking processes, practices, and ways of working (International Commission on Mathematical Instruction, 2017).

A comprehensive review of literature in the area of mathematical thinking would draw on a wide range of sources, such as research journals, books, and conference proceedings. However, this review is restricted to papers published in ESM. While such an approach could be criticized for limiting the reviewrsquo;s scope and reducing the value of any conclusions that can be drawn from it, it does permit an analysis of how a particular research area has been represented in one of the most cited and respected journals in our field (Williams amp; Leatham, 2017). The paper was also planned with a view to marking the journalrsquo;s fiftieth year in 2018 and publication of its one hundredth volume in January 2019. Together these events provide an occasion for reflection on the journalrsquo;s past and future joining several commemorative articles of this type that have already been published (Bakker, 2019; Beckers, 2019; Mesa amp; Wagner, 2019).

Two separate 5-year windows of time have been chosen for this review. Examining papers published during the most recent time period, 2014–2018, allowed us to comment on the current Bstate of the art^ in research on mathematical thinking. We wanted to select an earlier time frame

for the purpose of comparison, and identified two reasons for ultimately deciding on 1994–1998.

First, we anticipated that the 1994–1998 window would capture the maturation of research on mathematical problem solving as a key form of mathematical thinking. Second, the full review period, from 1994 to 2018, corresponds to the second half of ESMrsquo;s 50-year lifespan. Comparing these two Bslices^ of published research spanning 25 years enabled us to identify changes in

emphasis over time, and to interpret the findings in terms of trends and research themes discussed

in mathematics education research handbooks and seminal works in the area of mathematical thinking. Our aims were to produce a concise comparative analysis and an up-to-date snapshot of this area and to propose how research in mathematical thinking might develop.

This review is organized around the following sections. First, we consider the meaning of Bmathematical thinking^ and delineate the parameters and particular aspects that guided the literature search. Next, we outline the methodology used for the review—how the sources

were selected, organized, and analyzed. The findings are then presented in response to the broad research questions that structured the analysis:

1. What similarities and differences can be observed in the contexts and features of studies published in ESM that investigate how to understand and promote studentsrsquo; mathematical thinking in the periods 1994–1998 and 2014–2018?
2. How have the theories and methodologies that framed the studies changed during these time periods?
3. What is the contribution to knowledge made by this body of work, and what future research directions are indicated?

Meani

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