不使用微积分可解的两类最值问题外文翻译资料

不使用微积分可解的两类最值问题

原文作者：Murray S. Klamkin

单位：加拿大阿尔伯塔省埃德蒙顿市阿尔伯塔大学

微积分为我们提供了系统、通用和强大的解决最值问题的方法. 因为它的普遍性，经常有更简单的方法来解决具体问题. 通常用不等式来解决，如均值不等式、琴生不等式、Holder不等式、Minkowsi不等式或判别式等. 如果研究在微积分考试中的最大和最小值的问题，会发现很多题目只需要用均值不等式中的两个或三个变量就能完成，即

和 .

在本文中，我们将首先考虑运用拉格朗日乘数法解决的Ogilvy二维问题^[1]. 我们利用Holder不等式^[2]，加上一些其他的常用的不等式来处理这个问题. 在运算过程中，我们先进行计算最大值，然后推广到n维的问题. 其次，我们认为可以使用一个合适的判别式来解决两个问题. 第一个是根据Langley问题^[3]. 同样的，我们先给出一个证明过程，然后扩展出结果.

问题一. Ogilvy推广问题，“如果点P（h，k）在第一象限，直线l通过点P，什么情况下该直线与x轴、y轴的正半轴构成的直角三角形满足以下条件：（1）底边和高的和有最小值；（2）斜边有最小值. ”通过求，n gt; 0时的最小值，且满足限制条件h/a k/b = 1. Ogilvy通过利用拉格朗日乘数法得到

.

他还指出，“如果n小于0，问题将转变为求函数f（a，b）的最大值，而不是它的最小值. 所有的计算都从n＞0转变为n＜0，而计算的过程不变，但现在，所有过程中的最小值都由最大值来代替. ”我们将在下文中给出完整的证明过程.

我们通过Holder不等式得到

其中，l/p l/q = 1且p，qgt;1. 当且仅当u/r=v/s时等式成立.

例1. 当n gt; 0时，

.

因此，

，

当且仅当时等式成立.

对于另一种情况，当n lt; 0时，我们将n变为—n，得到.

例2. 当1 gt; n gt; 0时，

.

因此，

.

在这种情况下，最小值有下界，根据以下式子得到

.

这就产生了

.

（注意，当且仅当h/a和k/b中任意一个不存在时，等式成立. ）假设最小值的下界可以取，直线必须平行于任意一条坐标轴，但这与a和b是有界的这一限定条件矛盾，因此，这个最小值的下界不能取到. 从而我们可以得到，当a或b趋于正无穷时，任意的直线接近于，即该直线平行于一条坐标轴.

例3. 当n = 1时，

.

我们假设，否则问题不成立. 由此可得

and .

例4. 当n gt; 1时，

.

因此，

当为任一实数时，当且仅当时，等式成立. 另外，最小值还有上界，它是由下式得到的

.

由此得到，

.

对于n = 2的特殊情况，即当直线与坐标轴垂直时，得到最值.

上文展示了利用Ogilvy推广问题来解决当时的最大值这个问题的证明过程. 在这过程中出现的错误，多数情况是由于没有利用拉格朗日乘数法来检验“充分性”.

在这里，当变量超过两个时，拉格朗日乘数法通常会产生一些较复杂的代数问题. 首先要做的是确定所有的真正解决方案产生的一组联立方程，通常是非线性的. 这是最值问题可以求解的必要条件. 然后，必须检查端点是否符合最值的要求. 举例来说，F(x，y，z)是立方体上一个点，其中，考虑这个点是否能找到最大值这个问题. 第一步要解决的问题是，找到在立方体的内部存在的当时的情况. 接着对这六个平面在立方体上的情况进行讨论. 下一步需要思考的是这12条线段在立方体边缘的情况是怎么样的. 最后必须做的，是对立方体的八个顶点的值进行验证. 我们应该不懈地寻找一些方法（比如找出一个恰当的不等式），来避免重复这些步骤. 进一步举个例子，我们可以证明，通过对Ogilvy问题的概括，当数量拓展到n时，解题时所需要的步骤不会比之前更多.

这里，是在第一象限的一个点，我们想得到一个经过这个点的超平面，求这个超平面的坐标截距最小化或最大化时的m次幂之和. 即我们的问题是求函数

的最值，且符合条件

.

考虑到当m gt; 0时函数有最小值，利用含有n个变量的Holder不等式

，

当且仅当

时等号成立. 因此，

.

剩下的情况在上文中已经求证完毕. 其他的一些与几何代数相关联的延伸问题可参考[1]中类似的二维结论.

同时，应该注意的是，很多时候可以不用微积分解决最值问题，但必要条件是掌握微积分的解题方法.

第二个最值问题的类型，是那些可以用一元二次方程的判别式解决的题目.

问题二. 现在，我们要确定函数

（1）

的最大值和最小值，其中是定量，是变量. 这个问题不用微积分法，而借助Langley问题来解决，会非常容易，并且说明了确定最大值和最小值的另一种方式. 然而，有一个更快的方法可以完整地解决这个问题. 从而，我们能给出扩展到更一般形式的函数.

简单的Langley问题解决方法如下.

设

，

当

时，或者

，

或者

.

因为必须有意义，则一元二次方程根的判别式是非负的，因此，满足条件

或者

.

最后得到，

.

为了解决Langley问题，应该证明u后面的最值实际上是可以达到的，并能求出相应的值. 现在，我们通过等式

找到的值.

通过重新排列和平方，我们得到

或者

.

再次平方，用代替，整理等式，得到

.

因此，，并且. 把这些值代到（1）式中，得到最值. 当和都是正数时，得到最大值；当是正数，是负数时，得到最小值.

在这里，微积分的解决方法是最直接的，但是计算过程中会运用到导数，因而涉及的步骤比上面的证明方法更加复杂. 另外，该方法获得的最值，通过引入一元二次方程的判别式，出现在不少以前的英文力学测试中. 事实上，Langley问题完全等价于射程的最大范围问题，当一个物体在离地面h的高度上无初始速度进行释放^[4]. 在这里，相当于，其中g是引力常数.

用一种方法推广函数（1），得到

， (2)

并用更一般的函数代替，回顾上面已经证明过的步骤，函数相对于（1）应该得到

. (3)

（3）的最值与（1）相同. 下面，应验证这些最值是否可以达到. 为进一步推广，我们不但可以将（2）中的用取代替，而且可以改变u在函数中的出现. 因此，可以用含u的表达式求得方程的解.

显然，最后一个问题可以用各种不同的方式解决. 其中，判别式法是最简洁的.

问题三. 寻找给定的点到已知直线l的最短距离，其中参数符合条件，且.

在几何学上，已知直线l与球体相切，要求的距离是从一个半径为r的球体的中心到给定的点P之间的长度. 因此，直线与球面相交的部分必定为一个点. 根据球面方程式（这里，以及下文全部，将i的范围归纳为），参数t必须满足等式

或者

.

因为一元二次方程的根的判别式必须为0，可以得到最短距离的平方公式为

.

其他不用微积分解决最值问题的例子，可以参考文献 [5，6，7，8].

致 谢

非常感谢审稿人提出的许多有益建议.

参考文献

1. C. S. Ogilvy, Extra dividends from a calculus problem, this MAGAZINE 41 (1968), 280-281.

2. D. S. Mitrinovic, Analytic Inequalities, Springer-Verlag, Heidelberg, 1970, pp. 50-52.

3. E. M. Langley, Problem #38, Math. Gazette 1 (1896), 18-18.

4. M. S. Klamkin, Dynamics: throwing the javelin, putting the shot, UMAP Journal 6 (1985), 3-18.

5. G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1954, pp. 121-141.

6. I. Niven, Maxima and Minima without Calculus, MAA, Washington, DC, 1981.

7. R. P. Boas and M. S. Klamkin, Extrema of polynomials, this MAGAZINE 50 (1977), 75-78.

8. M. S. Klamkin, On the teaching of mathematics so as to be useful, Educ. Studies in Math. 1 (1968), 126-160.

外文文献出处：Mathematics Magazine, Vol. 65, No. 2 (Apr., 1992), pp. 113-117.

附外文文献原文

On Two Classes of Extremum Problems without Calculus

Murray S. Klamkin

University of Albert

Calculus provides us with systematic, general, and powerful methods for attacking extremum problems. Because of its generality, there are often simpler methods for solving specific problems. These usually in volve inequalities, e.g., Arithmetic-Geometric Mean (A.M.-G.M.), Jensen, Holder, Minkowski, or a discriminant. If one surveys the maximum and minimum problems in our calculus texts, one will find that a great many of them can be done much more efficiently just using the A.M.-G.M. Inequality in two and three variables, i.e.,

and .

In this note, we will first consider a two-dimensional problem of Ogilvy[1], which was solved using Lagrange multipliers. We redo the problem using Holders inequality[2] plus some other quite elementary inequalities. We also point out an oversight regarding the maximum values and then generalize the problem to n dimensions. Secondly, we consider two problems that can be solved using an appropriate discriminant. The first one is due to Langley[3]. Again, we point out an oversight and then extend the result.

PROBLEM 1. Og

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

英语原文共 6 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

资料编号：[286831]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word